フーリエ級数で遊ぼう

ここではあまり厳密なことは話しません。これを説明したいわけではないため導入ってだけです。詳しくしたければ自分で本を読んでください。

フーリエ展開#とは

与えられた周期関数（ここでは周期を $2 \pi$ としよう）を三角関数の和で表現する、すなわち、以下のように書き表すことを考えよう。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)$

上の級数が収束することを仮定していろいろ見ていこう。

なんといっても級数の係数を求めたいところだ。 $m$ を自然数として、

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx dx = 0$

というのは明らか。また、 $m$ と $n$ を異なる自然数としたら、

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx =0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx dx =0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx dx =0$

ということも有名だ。これは簡単なので読者の演習問題とする。

さて、上記のことを踏まえれば、

$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{a_0}{2} 2 \pi = a_0 \pi$

$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx = a_n \pi$

$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx = b_n \pi$

となる。つまり、

${\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx} \hspace{15pt} (n=0,1,2,…)$

${\displaystyle b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx} \hspace{15pt} (n=1,2,…)$

となる。

いろいろ計算してみよう

$g(x)=x$ を( $-\pi \lt x \lt \pi$ )でカットしてあげて、この部分を繰り返すようにしてできる関数を新たに $f(x)$ とする。馬鹿みたいに丁寧に書くと、

$f(x) = x - \lfloor \frac{x+\pi}{2\pi} \rfloor *2\pi$

といったところか。まあ当然のことだが、 $-\pi \lt x \lt \pi$ しか見ない。 $x \cos nx$ は奇関数なので

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx dx = 0$

である。

一方、

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx = \frac{2(-1)^{n-1}}{n}$

となる。これより、

$2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\sin nx}{n} = x \hspace{15pt} (-\pi \lt x \lt \pi)$

となり、 $x = 1$ で

$\frac{\sin 1}{1} - \frac{\sin 2}{2} + \frac{\sin 3}{3} - … = \frac{1}{2}$

となる。綺麗。

同じようにして、

$12\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n^{3}} = x(\pi - x)(\pi + x) \hspace{15pt} (-\pi \leq x \leq \pi)$

$\frac{\sin 1}{1^3} - \frac{\sin 2}{2^3} + \frac{\sin 3}{3^3} - ... = \frac{\pi^{2} - 1}{12}$

となる。これもまた綺麗だ。

俺も公式つくるぞ

多くの参考書には上二つまでしか書いてない。5バージョンを作ってみよう。どうせ多項式の展開から $\frac{\sin nx}{n^5}$ ができると予想して考える。

まず、

$B_k = \int_{-\pi}^{\pi} x^k \sin{nx} dx \ (kは奇数)$

とおき、これを計算する。

$\begin{eqnarray} B_k &=& \int_{-\pi}^{\pi} x^k \sin nx dx \\ &=& \left[- \frac{\cos nx}{n} x^k \right]^{\pi}_{\pi} + \frac{k}{n} \int_{-\pi}^{\pi} x^{k-1} \cos nx \\ &=& -\frac{2(-1)^{n}}{n}\pi^k + \frac{k}{n} \left[ \frac{\sin nx}{n} x^{k-1} \right]^{\pi}_{\pi} - \frac{k(k-1)}{n^2} \int_{-\pi}^{\pi} x^{k-2} \sin nx dx \\ &=& -\frac{2(-1)^{n}}{n}\pi^k - \frac{k(k-1)}{n^2} B_{k-2} \\ &=& \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\pi^k + \frac{2(-1)^{n+2}k(k-1)}{n^3}\pi^{k-2} + ... + \frac{2(-1)^{n+K}k(k-1)...(k-(k-2))}{n^k}\pi^1\\ &=& \frac{2(-1)^n}{n} \sum_{m=0}^K \frac{ {}_k \mathrm{P} _{2m}}{n^{2m}} \pi^{k-2m} (-1)^m \end{eqnarray}$

なお、 $k=2K+1$ としている。

これを元に公式を作ろう。 $k=5$ の公式を求めたい。たぶん5次の多項式で十分だろうから $B_5$ から $B_1$ までを求めよう。

$\begin{eqnarray} B_5 &=& \frac{2(-1)^{n}}{n} \left\{ \frac{ {}_5\mathrm{P}_0}{n^0} \pi^{5} -\frac{ {}_5\mathrm{P}_2}{n^2} \pi^{3} +\frac{ {}_5\mathrm{P}_4}{n^4} \pi^{1} \right\} \\ B_3 &=& \frac{2(-1)^{n}}{n} \left\{ \frac{ {}_3\mathrm{P}_0}{n^0} \pi^{3} -\frac{ {}_3\mathrm{P}_2}{n^2} \pi^{1} \right\} \\ B_1 &=& \frac{2(-1)^{n}}{n} \frac{ {}_1\mathrm{P}_0}{n^0} \pi^{1} \end{eqnarray}$

これらは順に $x^5,x^3,x$ のフーリエ級数となる。分母が自然数の5乗になるようにうまく消していく。 $6B_5-20\pi^2 B_3 + 14\pi^4 B_1$ をすることで、

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1440\sin{nx}}{n^5} =6x^{5} - 20\pi^{2}x^{3} + 14\pi^{4}x$

という式が得られる。 $x=1$ を代入し、

$\displaystyle \frac{\sin n}{1^5} - \frac{\sin 2n}{2^5} + \frac{\sin 3n}{3^5} - ... = \frac{6 - 20\pi^{2} + 14\pi^{4}}{1440}$

となる。まあまあ綺麗。

終わりに

以上のようにしてフーリエ展開で楽しむことができた。なお、これから備忘録にまとめていくことは楽しいフーリエ展開でないので注意してほしい。~~ネタがなかったから昔作っておいた級数を紹介しただけである。~~

その他

句点読点にかんしてはテキトーです。許してください。
誤植等あればコメント等での連絡をお願いします。